Capes

Voici quelques documents qui correspondaient aux anciennes leçons du Capes, ainsi que quelques autres documents.


  1. Exemples de problèmes dont la résolution fait appel à l’utilisation de graphes, orientés ou non.
  2. Coefficients binômiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applications.
  3. PGCD et PPCM de deux entiers naturels. Nombres premiers entre eux. Applications. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.
  4. série statistique à deux variables numériques. Nuage de points associé. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Droite de régression. Applications.
  5. Division Euclidienne dans Z. Unicité du quotient et du reste. Applications.
  6. PGCD et PPCM de deux entiers naturels. Nombres premiers entres eux. Applications. Illustration avec la calculatrice.
  7. Etude de la fonction complexe f : z -a / z – b .Lignes de niveaux pour le module et l’argument de la fonction f. Applications.
  8. Droites et plans de l’espace. Positions relatives; plans contenant une droite donnée.
  9. Théorème de Thalès. Applications à la géométrie du plan et de l’espace.
  10. Equation cartésienne d’une droite du plan euclidien. Application à l’étude d’inéquations de la forme a cos t + b sin t ⩾ c
  11. Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calcul de distances et d’angles, optimisation…).
  12. Droites remarquables du triangle : bissectrices, hauteurs, médianes, médiatrices.
  13. Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calcul de distances et d’angles, optimisation…).
  14. Définitions et propriétés du produit scalaire dans le plan; expression dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d’angles.
  15. Le cercle. Positions relatives d’une droite et d’un cercle, de deux cercles. Point de vue géométrique et point de vue analytique. Lien entre les deux points de vue.
  16. Théorème de l’angle inscrit : ensemble des points M du plan tels que l’angle orienté de droites ou de demi-droites (MA,MB) soit constant. Cocyclicité. Applications.
  17. Orthogonalité dans l’espace affine euclidien : droites orthogonales, droite othogonale à un plan, plans perpendiculaires. Applications.
  18. Relations métriques dans un triangle rectangle. Trigonométrie. Applications.
  19. Applications du produit scalaire et du produit vectoriel dans l’espace orienté : calculs de distances, d’aires, de volumes, d’angles…
  20. Réflexions et rotations de l’espace. Effet sur les distances, les angles…Applications à l’action sur les configurations usuelles.
  21. Courbes définies par des équations paramétriques dans le plan. Vecteur dérivé et tangente; interprétation cinématique.
  22. Ellipses déduites d’un cercle par affinité orthogonale. Applications.
  23. Définition de l’ellipse, géométriquement et par équation réduite. Equivalence entre ces deux définitions.
  24. Définition de l’hyperbole, géométriquement et par équation réduite. Equivalence entre ces deux définitions.
  25. Exemples de représentation paramétrique des coniques; construction de la tangente et de la normale en un point à une parabole, une ellipse, une hyperbole.
  26. Suites convergentes. Opérations algébriques, composition par une application continue. Comparaison de suites entre elles.
  27. Rapidité de convergence d’une suite réelle.
  28. Suites divergentes. Cas des suites admettant une limite infinie : comparaison, opérations algébriques, composition par une application.
  29. Image d’un intervalle par une fonction continue, image d’un segment. Continuité de la fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone sur un intervalle.
  30. Fonctions polynômes.
  31. Croissance comparée des fonctions réelles expo et puissances, etc.
  32. Fonctions dérivées. Opérations algébriques. Dérivée d’une fonction composée. Exemples.
  33. Théorème de Rolle et applications.
  34. Inégalités des accroissements finis – Exemples d’applications à l’étude de suites et de fonctions.
  35. Caractérisation des fonctions exponentielles par l’équation fonctionnelle f (x + y) = f (x). f (y). Applications.
  36. Exemples d’approximation d’une solution d’une équation différentielle par la méthode d’Euler. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.


En bonus :
-un petit formulaire sur les groupes et sur les anneaux.
-quelques programmes pour la TI-Voyage 200.
-quelques rappels d’arithmétiques pour le Capes.