Capes
Voici quelques documents qui correspondaient aux anciennes leçons du Capes, ainsi que quelques autres documents.
- Exemples de problèmes dont la résolution fait appel à l’utilisation de graphes, orientés ou non.
- Coefficients binômiaux, dénombrement des combinaisons, formule du binôme. Applications.
- PGCD et PPCM de deux entiers naturels. Nombres premiers entre eux. Applications. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.
- série statistique à deux variables numériques. Nuage de points associé. Ajustement affine par la méthode des moindres carrés. Droite de régression. Applications.
- Division Euclidienne dans Z. Unicité du quotient et du reste. Applications.
- PGCD et PPCM de deux entiers naturels. Nombres premiers entres eux. Applications. Illustration avec la calculatrice.
- Etude de la fonction complexe f : z -a / z – b .Lignes de niveaux pour le module et l’argument de la fonction f. Applications.
- Droites et plans de l’espace. Positions relatives; plans contenant une droite donnée.
- Théorème de Thalès. Applications à la géométrie du plan et de l’espace.
- Equation cartésienne d’une droite du plan euclidien. Application à l’étude d’inéquations de la forme a cos t + b sin t ⩾ c
- Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calcul de distances et d’angles, optimisation…).
- Droites remarquables du triangle : bissectrices, hauteurs, médianes, médiatrices.
- Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calcul de distances et d’angles, optimisation…).
- Définitions et propriétés du produit scalaire dans le plan; expression dans une base orthonormale. Application au calcul de distances et d’angles.
- Le cercle. Positions relatives d’une droite et d’un cercle, de deux cercles. Point de vue géométrique et point de vue analytique. Lien entre les deux points de vue.
- Théorème de l’angle inscrit : ensemble des points M du plan tels que l’angle orienté de droites ou de demi-droites (MA,MB) soit constant. Cocyclicité. Applications.
- Orthogonalité dans l’espace affine euclidien : droites orthogonales, droite othogonale à un plan, plans perpendiculaires. Applications.
- Relations métriques dans un triangle rectangle. Trigonométrie. Applications.
- Applications du produit scalaire et du produit vectoriel dans l’espace orienté : calculs de distances, d’aires, de volumes, d’angles…
- Réflexions et rotations de l’espace. Effet sur les distances, les angles…Applications à l’action sur les configurations usuelles.
- Courbes définies par des équations paramétriques dans le plan. Vecteur dérivé et tangente; interprétation cinématique.
- Ellipses déduites d’un cercle par affinité orthogonale. Applications.
- Définition de l’ellipse, géométriquement et par équation réduite. Equivalence entre ces deux définitions.
- Définition de l’hyperbole, géométriquement et par équation réduite. Equivalence entre ces deux définitions.
- Exemples de représentation paramétrique des coniques; construction de la tangente et de la normale en un point à une parabole, une ellipse, une hyperbole.
- Suites convergentes. Opérations algébriques, composition par une application continue. Comparaison de suites entre elles.
- Rapidité de convergence d’une suite réelle.
- Suites divergentes. Cas des suites admettant une limite infinie : comparaison, opérations algébriques, composition par une application.
- Image d’un intervalle par une fonction continue, image d’un segment. Continuité de la fonction réciproque d’une fonction continue strictement monotone sur un intervalle.
- Fonctions polynômes.
- Croissance comparée des fonctions réelles expo et puissances, etc.
- Fonctions dérivées. Opérations algébriques. Dérivée d’une fonction composée. Exemples.
- Théorème de Rolle et applications.
- Inégalités des accroissements finis – Exemples d’applications à l’étude de suites et de fonctions.
- Caractérisation des fonctions exponentielles par l’équation fonctionnelle f (x + y) = f (x). f (y). Applications.
- Exemples d’approximation d’une solution d’une équation différentielle par la méthode d’Euler. L’exposé pourra être illustré par un ou des exemples faisant appel à l’utilisation d’une calculatrice.
En bonus :
-un petit formulaire sur les groupes et sur les anneaux.
-quelques programmes pour la TI-Voyage 200.
-quelques rappels d’arithmétiques pour le Capes.